Основной закон фильтрации

Основной закон фильтрации - закон Дарси - был установлен в 1856 г. Исторически закон был получен Анри Дарси эксперименталь­но на основе анализа большого объема опытных данных путем наблю­дений за расходом воды при движении через образец песка заданной длины и площади поперечного сечения, но может быть получен с помощью осреднения уравнений Навье-Стокса, описывающих течение в масштабе пор. Выражает зависимость скорости фильтрации флюи­да от градиента напора:

где k - коэффициент фильтрации [м/сут], численно равный скорости фильтрации при I = 1, а скорость фильтрации v представляет собой от­ношение расхода потока Q ко всей площади его поперечного сечения:

В этом случае v не является действительной скоростью фильтра­ции, поскольку при ее определении учитывается вся площадь сечения потока, а не площадь порового пространства, через которую реально движется вода. Значение скорости v позволяет легко сравнить между собой различные потоки. Действительная скорость фильтрации и свя­зана со скоростью фильтрации соотношением

где n_a - активная пористость (трещиноватость).

Здесь v/k характеризует силы вязкости или сопротивления среды, а I - разность напоров, обуславливающая фильтрацию ПВ.

Определим расход потока:

где I - напорный градиент, определяемый отношением разницы ги­дростатических напоров (Н₁-Н₂) к длине участка L_1-2

Физический смысл коэффициента фильтрации:

Фильтрация под влиянием разности напоров

т.е. k - это расход потока через единичное сечение (1м²) при I = 1. Значения k для песков - 1-50 м/сут, супесей - 0,01-1,0, суглинков - 0001-0,01, глин - меньше 0,0001 м/сут.

Для вертикального потока (перетекания) из одного водоносного горизонта в другой через слой слабопроницаемых пород мощностью m_о и коэффициентом фильтрации k_о на участке территории длиной L и шириной В имеем:

где H₁ - уровень воды в пласте (1); H₂ - уровень воды в пласте (2).

Схема к расчету расхода перетекания через слой слабопроницаемых пород

Линейная связь между v и I на графике ниже, представлена прямой линией. Однако, поскольку этот закон является феноменоло­гическим, он имеет пределы применимости - так называемые верх­ний и нижний пределы применимости.

В первом случае нарушение закона Дарси связано с возникнове­нием турбулентности потока ПВ при больших скоростях фильтрации, которые возникают при значениях k>1000 м/сут и значительных гра­диентах потока (в закарстованных породах, вблизи шахтных стволов, открытых дрен, подземного контура плотин). Величина критической скорости v > 500 м/сут. Линейная зависимость нарушается, и справед­ливо выражение:

где a - коэффициент нелинейности фильтрации.

Во втором случае нарушение закона Дарси происходит в глини­стых тонкодисперсных породах, где силы молекулярного взаимодей­ствия между водой и породой вызывают дополнительные сопротив­ления движению жидкости. Существуют некоторые значения крити­ческого напорного градиента I₀, ниже которого движение подземных вод не происходит (v=0 при I ≤ I₀). При I > I₀ возникает течение подзем­ных вод, причем коэффициент фильтрации изменяется в зависимости от I. При I > I₀ справедливо выражение

Графическое изображение обобщенного закона Дарси

1 - линейная зависимость; 2 - приближенная линейная зависимость (переходный режим фильтрации); 3-5 - обобщенные зависимости (3 - линейно-турбулентный режим фильтрации, 4 - линейно-вязкопластический режим фильтрации; 5 - с учетом молекулярных взаимодействий)