Построение матриц жесткости типовых стержневых элементов

Основным этапом расчета МКЭ является получение матрицы жесткости элемента. Для реализации данного метода необходимо прежде всего разделить конструкцию на отдельные элементы, имеющие простую форму, с постоянной жесткостью, т. е. стержень и т.п. Сначала изучают характеристики этих элементов и их соединений, потом элементы соединяют в конструкцию и производят обобщенный расчет. Различие между данной и общей упругой динамикой в том, что вариации матриц жесткостей элементов могут прямо стартовать с конструктивных расчетных форм. Узловые перемещения и усилия в элементах являются основными неизвестными величинами.

Ниже приведены часто используемые матрицы жесткости элементов (балки и пластины). При анализе конструкции обычно ось Z обозначает высоту элемента, поверхность XY обозначает плоскость.

Матрицы жесткости элементов в виде колонн

При выборе системы координат обычно ось z совмещают с продольной осью элемента. Данный элемент имеет шесть степеней свободы начала i и конца j колонны.

Для таких элементов матрица жесткости [К^С], устанавливающая связь между возможными перемещениями узлов и внешними силами, имеет вид

где δ_i^c = [u, v, w, θ_х, θ_у, θ_Z]_i^T; P_i^c = [N_x, N_y, N_z, M_x, M_y, M_Z]_i^T; u, v - перемещение по осям x, у; w - перемещение по оси z; θ_х, θ_у - углы поворота относительно х и у; в₂ — угол поворота относительно оси z; N_x, N_y - поперечные силы по оси х, у; N_z - нормальная сила; М_х, М_у - изгибающий момент по оси х, у; M_z - крутящий момент; [К^С] - матрица жесткости элемента колонны, в которой введены следующие величины:

Матрица жесткости балочного элемента

При выборе системы координат обычно ось х совмещают с продольной осью элемента. Для таких элементов матрица жесткости [К^B], устанавливающая связь между возможными перемещениями узлов и внешними силами, имеет вид

где вектор перемещения балки δ_i^c имеет одинаковую интерпретацию с вектором перемещения колонны δ_i^c.

Матрица жесткости [K^B], учитывающая влияние поперечного среза, имеет вид

P_i^B = [N_x, N_y, N_z, M_x, My,М_z]_i^T; N_x - продольная сила; N_y, N_z - поперечные силы; M_x - крутящий момент; М_у, М_z - изгибающий момент относительно осей у и z.