Упругая ёмкость водоносных пород
Упругая ёмкость характеризует изменение водонасыщенности горных пород, обусловленное их деформациями, возникающими при изменении напряженного состояния пласта вследствие действия гидродинамических факторов (изменений напора, водоотбора и т.п.).
При рассмотрении упругой ёмкости горных пород обычно исходят из принципов подземной гидростатики, предполагая условие одномерного напряженного состояния (Шестаков, 1998). Это условие выполняется при предположении, что вышележащая толща подобна гибкой плите и не оказывает сопротивления деформированию. Такое предположение будет, очевидно, достаточно приемлемым, если поперечные размеры плиты заметно превышают ее толщину (т.е. мощность перекрывающей толщи).При обосновании параметров упругой ёмкости учитываются деформации скелета породы и поровой жидкости.
Изменение плотности воды описывается законом Гука вида
где β — коэффициент объемного сжатия воды, который представляет собой относительное изменение плотности воды при единичном изменении давления, причем для пресной воды β = 4,7 × 10-5 1/атм.Существенно более сложен закон деформации пород, что обусловливается их структурно-текстурными особенностями.
В дифференциальной форме уравнение компрессии, связывающее изменение коэффициента пористости ℮ с изменением эффективного напряжения , записывается так:
где ас — коэффициент сжимаемости (компрессии, уплотнения).
Общепринято представление закона деформации несцементированных песчано-глинистых пород уравнением Терцаги, связывающим коэффициент пористости ℮ и эффективное напряжение δ в скелете породы:откуда следует формула для связи величины ас с величиной δ
где е0,δ 0 и с — параметры, определяемые экспериментально обычно по данным компрессионных испытаний в лабораторных условиях, или распределения пористости по глубине залегания пород (Мироненко, Шестаков, 1974; Шестаков, 1998).
При значительных изменениях напряжений в породе следует учитывать зависимость ас(δ), что особенно существенно для сцементированных пород, если в процессе деформации могут нарушаться структурные связи. Такие же особенности деформаций проявляются при значительных изменениях давления в карбонатных породах, где срывы внутренних связей могут приводить к резким скачкообразным изменениям коэффициента сжимаемости. Вместе с тем, при обычно встречающихся небольших пределах изменения давлений предполагается возможным считать коэффициент сжимаемости породы, слагающей пласт, постоянным.
В качестве удельной характеристики упругой ёмкости, проявляющейся при действии гидродинамических факторов, следуя В.Н. Щелкачеву (1959), введем упругоёмкость породы η*, представляющую собой изменение объема воды, отнесенное к объему породы при единичном изменении напора (в англоязычной литературе это Ss — specific storage). Для величины η* получена формула (Шестаков, 1998)
Из-за нелинейности уравнения компрессии величина η* может существенно зависеть от глубины залегания водоносных пластов. Дадим оценку характерных значений упругоёмкости пород и их изменений по глубине залегания водоносных песчано-глинистых пород в наиболее характерном для решения практических задач диапазоне глубин порядка десятков и сотен метров.
Для выявления зависимости упругоёмкости от глубины залегания водоносных пород zn, исходя из того, что в естественных условиях имеет место распределение напряжений, близкое к гидростатическому, т.е., где δ= γn zn, где γn - средний удельный (объемный) вес пород до глубины zn с учетом их взвешивания водой. При этом выражение для упругоёмкости представляется в видеПри неглубоком залегании пород (порядка десятков и сотен метров) можно определять упругоёмкость водоносной породы без учета деформации воды по формуле
причем обычно (при небольшой зоне аэрации и нормально консолидированных породах) можно полагать γn = γ, е = 0.6, так что получается А = 0.27с, а также считать z0 = 10 м.
Для несцементированных песчаных пород по данным лабораторных определений даются значения с = 0.04 — 0.07, так что А = (1.3—1.9) × 10-2. Вместе с тем, обработка данных опытных откачек в различных условиях дает значения А = 3 × 10-4 — 3 ×10-3 при среднем значении А = 10-3, что на порядок меньше значений, получаемых по данным компрессионных испытаний (Шестаков, 1991а; Shestakov, 2002).
Для нормально уплотненных несцементированных глинистых пород рекомендуется в уравнении компрессии принимать с = 0.224ет, где ет — значение е на границе текучести. По данным натурных замеров распределения пористости в глинистых породах получается А = 0.06 — 0.09 (Шестаков, 1991а).
Для известняков рекомендуется (Кабранова, 1986) зависимость для изменения коэффициента пористости с глубиной
при Z0=100м. Соответственно для коэффициента сжимаемости получим выражение
В качестве удельной характеристики упругой ёмкости всего пласта целесообразно использовать упругую ёмкость пласта µ* (coefficient of storage S в англоязычной литературе), которая представляет собой отношение изменения объема воды в единичном элементе пласта к изменению напора (при действии гидродинамических факторов):
причем для водоносного пласта мощность m имеем
Как уже отмечалось, в рассмотренной модели упругости ёмкости породы и пласта не учитываются гетерогенность среды и реологические свойства породы, влияние которых обусловливает проявление динамичности (изменчивости во времени) параметров упругости ёмкости.
Для учета гетерогенности среды в качестве простейшей модели используется модель гетерогенно-блоковой среды (ГБС), или среды с двойной ёмкостью, предложенная Г.И. Баренблатом и Ю.П. Желтовым (Желтов, 1986). В такой модели порода представляется состоящей из квазиоднородной системы слабопроницаемых блоков, равномерно разделенных проницаемыми каналами.
При этом предполагается, что на изменения гидродинамической обстановки непосредственно реагирует только поток в каналах, а реакция блоков замедляется за счет сопротивления блоков. В такой модели изменение объема воды dVa в единичном объеме породы складывается из изменений объема воды в каналах и в блоках , которые связываются с изменениями напоров в каналах Н ив блоках Нб через соответствующие упругоёмкости каналов η*0 и блоков η **: Из выражения можно видеть, что при переходе от гомогенной среды к гетерогенно-блоковой, следует провести замену
Наиболее простая форма связи каналов и блоков реализуется в гетерогенно-блоковой модели с сосредоточенной ёмкостью, в которой предполагается, что водообмен между блоками и каналами описывается линейным уравнением вида
где x* - коэффициент внутриблоковой проводимости. Поскольку d = dH6, то уравнение приводится к виду
Основной формой гетерогенности пластов является слоистость. В качестве простейшей модели для учета пластовой гетерогенности используется схема равномерно-слоистого пласта, представляющая собой квазиоднородную систему одинаковых проницаемых и полупроницаемых слоев, причем в этой схеме может учитываться упругий режим фильтрации в слабопроницаемых слоях. Однако целесообразность применения такой схемы пока нельзя считать обоснованной, поскольку на нее может наложить существенный отпечаток гетерогенность полупроницаемых пород. В связи с этим для учета гетерогенности пласта обычно также используется изложенная выше модель гетерогенно-блоковой среды с сосредоточенной ёмкостью.
Учет реологических свойств горных пород основан на использовании определенных моделей упругопластических деформаций. Для геофильтрационных процессов целесообразно использовать реологическую модель Кельвина-Фойгта, в которой предполагается, что эффективные напряжения, воспринимаемые жесткими и пластическими связями, линейно зависят соответственно от деформаций и их скорости (Вялов, 1978). Тогда связь между коэффициентом пористости е, характеризующим деформацию породы, и изменением эффективного напряжения ∆δ записывается уравнением
где ас — коэффициент сжимаемости; апл — параметр пластической деформации. К сожалению, в литературе практически отсутствуют данные по характерным величинам параметров уравнения. Используя лабораторные данные Месчана (1974), можно в качестве характерной рекомендовать принять величину соотношения
апл/ас = 1 сут-1.
Теоретический анализ показывает (Шестаков, 1991б), что упругопластический режим в гомогенной среде, основанный на модели Кельвина-Фойгта, формально описывается системой уравнений гетерогенно-блоковой среды, параметры которой связаны с параметрами модели Кельвина-Фойгта соотношениями
Таким образом, при использовании модели Кельвина-Фойгта для анализа упруго-пластического режима фильтрации в гомогенной среде можно применять методы расчетов, полученные для модели упругого режима фильтрации в гетерогенно-блоковой среде (с двойной ёмкостью), параметры которой устанавливаются по соотношениям.