Прогиб земной коры как изгиб балки на упругом основании

Земная кора представляется в виде длинной балки прямоугольного сечения шириной b = 1 м с постоянной по длине изгибной жесткостью (ЕJ). Балка нагружена посередине сосредоточенной удельной силой Р₀, созданной весом водохранилища. Упругая балка (земная кора) покоится на основании — упруговязком веществе верхней мантии, которая в момент нагружения проявляет только упругие свойства (вязкие свойства проявляются позже в процессе эксплуатации водохранилища). Модуль упругости подстилающего основания Е_осн, его мощность (толщина основания) Н. Жесткость основания характеризуется коэффициентом постели к = Е_осн/Н.

Приведенное ниже решение строится на предположениях, что в балке отсутствуют поперечные деформации и вертикальные нормальные напряжения, а основание работает как на растяжение, так и на сжатие.

Вертикальные перемещения при изгибе подобной бесконечной балки, лежащей на упругом основании, от действия силы Р₀ определяются следующим известным уравнением:

y(x)=A₀e^-nx[sin(nx)+cos(nx)]

где

Эпюра вертикальных перемещений — это эпюра прогибов балки. Уравнение позволяет определить область влияния водохранилища на деформацию прилегающей территории. Например, определить расстояние R до нулевой точки на эпюре перемещений. Из уравнения видно, что перемещение будет равно нулю когда выражение в скобках равно нулю. Из этого условия получаем уравнение для определения значения x=R:

tg(nx)+1=0

Первый корень этого уравнения:

nx=3π/4

Откуда следует:

R=3π/4n

Эпюра вертикальных перемещений балки на упругом основании Винклера

Выражение для определения мак­симальной амплитуды А_Е упругого прогиба в постановке Винклера:

Полное выражение для определения радиуса прогиба подошвы земной коры:

Рассчитаем прогиб трехслойной земной коры толщиной 36 км, со­стоящей из трех слоев по 12 км каждый. Значения модуля упругости слоев по мере заглубления увеличиваются: 30, 60 и 80 ГПа. Изгибная

жесткость такой коры EJ = 22,5 · 1022 Н • м². Модуль упругости основания (подстилающего мантийного вещества) Е_осн = 80 ГПа. Вес водохранилища в разрезе представляется удельной силой Р_п = 2000 МН/м равной весу воды в вертикальной плоскости на один метр длины водохранилища.

В таблице ниже приведены результаты вычислений максимального прогиба А₀ и радиуса прогиба (влияния) R, вычисленные при разной мощности основания.

Расчетные значения амплитуды прогиба и радиуса прогиба по Винклеру