Анализ геометрической нелинейности
Учет геометрической нелинейности
Обычно расчет конструкций выполняют в упругой стадии их работы без учета деформированной схемы. Такая схема расчета подходит для конструкций, имеющих большую жесткость, малодеформируемых конструкций, однако для некоторых особенных состояний эта схема неприменима.
Если в конструкции возникают неупругие деформации при внешних воздействиях, необходим нелинейный анализ конструкции. При изгибе под действием поперечной нагрузки в конструкции будет возникать дополнительный изгибающий момент. Для некоторых конструкций, имеющих большую гибкость и относительно малую жесткость, необходимо учесть это влияние.
Одновременно возможно другое состояние, например конструкция каната. Эта конструкция создана, именно на основе больших деформаций сечения, при этом, естественно, требуется учет нелинейности при ее анализе.
Для обыкновенных высотных сооружений учет влияния P-А является главным вопросом. Это связано с непрерывным увеличением количества этажей высотных сооружений, и соответственно увеличением случайного эксцентриситета конструкции, уменьшение жесткости, а также увеличением горизонтального смещения конструкций под действием горизонтальных нагрузок.
Упрощенный метод расчета влияния зависимости Р-А При учете нелинейности работы конструкции требуется построить соответствующие уравнения конструкции в деформированном состоянии. При этом обычно учитывается и дополнительное действие гравитационных нагрузок в деформированном состоянии.
Дополнительный момент, вызванный смещением этажа
1 — расчетная схема после деформации; 2 - дополнительный момент; 3 - дополнительная горизонтальная нагрузка
После деформации конструкций возникает дополнительная гравитация каждого этажа. Дополнительный наклоненный момент, вызванный гравитацией этажа. После деформации конструкции под воздействием поперечной силы дополнительный момент, действующий на i-ом этаже, выглядит так:
mi=wiui
где wi - гравитация г'-го этажа; м, - смещение г-го этажа.
Итерационный способ решения является достаточно длительной и неточной расчетной процедурой, требующей замены более быстрым и удобным способом прямого решения.
Выписываем уравнение равновесия конструкции:
KU=F+LU
где К - матрица жесткости бокового направления конструкции; L - матрица сил гравитации w, каждого этажа; U - горизонтальное перемещение этажа. Уравнение можно записать:
K*U=F, где K*=K-L
Отсюда можно выразить перемещение с учетом действия Р-Δ. При этом появляется несимметричной матрицей, поэтому матрица К* тоже несимметричная.
Общая горизонтальная сила каждого этажа:
где qi - дополнительная горизонтальная сила i-го этажа; Wi - общая гравитационная сила каждого этажа выше i-го этажа.
Таким образом, Wi- отобразит симметрический момент L уравнением равновесия для решения, можно вычислить перемещения конструкции с учетом действия Р-Δ, не прибегая к итерированию.
Для сложно соединенной конструкции трудно точно определить общую гравитацию от каждого вышерасположенного этажа, т. е. вышеизложенный способ расчета трудно реализовать, поэтому для упрощения расчета производят замену продольной силой колонны:
где N- продольная сила.
С учетом уравнения можно исправлять элементную матрицу жесткости колонны, вводя ее в расчет, можно находить перемещения конструкции с учетом действия Р-Δ.
Влияние момента от действия Р-Δ
Для изучения момента, который возникает при действии Р-Δ, проводится сравнительный анализ конструкций, представленных.
На результат сравнения влияет изменение воздействий, действующих на конструкцию, а также изменение конструкций. Поэтому выполняется сравнение данных результатов с результатами действия ветровой нагрузки, получившаяся разность результатов является изменением системы в результате влияния Р-Δ.
- Жесткость в поперечном направлении конструкции
В предыдущем расчете была принята большая жесткость в поперечном направлении (железобетонная конструкция без учета влияния действия Р-Δ). Стальные конструкции имеют большую деформируемость и соответственно малую жесткость сечения, в таком случае требуется учесть влияние действия Р-Δ. При сравнении работы двух конструктивных схем здания с одинаковым расположением конструкции моделируется разница жесткостей сечений конструкций. Вариант 1 представляет собой железобетонную конструкцию с ограничением перемещения 1/800; вариант 2 представляет собой стальную конструкцию с ограничением перемещения 1/500. Высота этажа принимается 3 м. Размер сечения элементов двух вариантов - в таблице. Результаты сравнения приведены в таблице.
Сечения элементов сравниваемых конструкции
|
Толщина стены (мм) |
Сечение колонны (мм) |
Сечение балки (мм) |
|
|
Вариант 1 |
500 |
800x800 |
500x800 |
|
Вариант 2 |
350 |
600x600 |
350x800 |
Результаты расчета
|
Кол-во этажей |
Вариант 1 Перемещения, мм |
Вариант 2 Перемещения, мм |
||||
|
с учетом |
без учета |
отклонение (%) |
с учетом |
без учета |
отклонение (%) |
|
|
20 |
5,9 |
5,98 |
1,44 |
9,17 |
9,34 |
1,85 |
|
30 |
23,55 |
24,34 |
3,38 |
34,94 |
36,54 |
4,59 |
|
40 |
63,32 |
67,34 |
6,35 |
96,48 |
103,86 |
7,65 |
|
50 |
136,63 |
151,14 |
10,62 |
208,87 |
240,83 |
15,3 |
Анализируя результаты расчета, можно сделать вывод, что поперечная жесткость конструкции прямо влияет на степень действия Р-Δ конструкции. При одинаковой высоте конструкции и уменьшении жесткости конструкции увеличивается влияние действия Р-Δ. При одинаковом расположении конструкции и увеличении высоты конструкции уменьшение жесткости конструкции вызывает увеличение влияния действия Р-Δ.
- Нагружение конструкций
Для сравнения влияния нагружения конструкций применяется разная величина нагрузки по двум вариантам (10 кН/м2, 6 кН/м2), результаты расчета приведены в таблице.
Результаты расчета перемещения при разных нагрузках, мм
|
Кол-во этажей |
Нагрузка 6 кН/м2 |
Нагрузка 10 кН/м2 |
||||
|
с учетом |
без учета |
отклонение (%) |
без учета |
с учетом |
отклонение (%) |
|
|
20 |
5,9 |
5,96 |
1 |
5,9 |
5,98 |
1,44 |
|
30 |
23,55 |
24,11 |
2,38 |
23,55 |
24,34 |
3,38 |
|
40 |
63,32 |
66,15 |
4,47 |
63,32 |
67,34 |
6,35 |
|
50 |
136,63 |
146,73 |
7,39 |
136,63 |
151,14 |
10,62 |
Высота конструкцийЕсли не учитывать действие Р-А при одинаковом расположении конструкций, одинаковом действии ветровой нагрузки и разной вертикальной нагрузке, перемещения конструкции одинаковы. Когда действие Р-А учитывается, состояние будет другое, при увеличении нагрузки увеличивается влияние Р-Δ.
Рассмотрим комплексное влияние высоты конструкции на действие Р-Δ. С одной стороны, при увеличении высоты конструкции для ограничения перемещений необходимо увеличение поперечной жесткости, при этом влияние действия Р-Δ будет уменьшаться. С другой стороны, при увеличении высоты конструкции нагружение конструкции будет соответственно увеличиваться, что приводит к увеличению действия Р-Δ.
Для изучения зависимости влияния Р-Δ от высоты и размеров конструкции рассматривается один вариант, дифференцированно регулируются размеры конструкции на 20, 30, 40 и 50 этажах, чтобы они удовлетворяли требованиям ограничения перемещений 1/800 при воздействии ветровой нагрузки.
Результаты расчета перемещения
|
Кол-во этажей |
Перемещение, мм |
||
|
без учета действия Р-Δ |
с учетом действия Р-Δ |
отклонение (%) |
|
|
20 |
59,16(1/1014) |
66,74 |
12,8 |
|
30 |
87,7 (1/1026) |
97,57 |
11,25 |
|
40 |
113,05 (1/1062) |
125 |
10,57 |
|
50 |
140,97(1/1064) |
156,46 |
10,98 |
Анализируя вышеприведенные результаты расчетов, можно выделить два основных фактора влияния действия Р-Δ высотных сооружений: жесткость в поперечном направлении и нагружение конструкции. Нельзя определить влияние действия Р-Δ просто на основании высоты конструкции. В некоторых особых случаях действие Р-Δ нельзя игнорировать, особенно для конструкций, имеющих большие вертикальные нагрузки.При разной высоте конструкции разница между размерами незначительно влияет на действие Р-Δ. Следовательно, когда конструктивные требования удовлетворяются, низкая высота конструкции не обозначает то, что влияние действия Р-Δ меньше, на это нужно обращать внимание.
Жесткость конструкции прямо влияет на зависимость Р-Δ. В требованиях норм Китая к проекту установлено ограничение перемещений конструкций, это до известной степени обеспечивается жесткостью конструкции. Перемещение конструкции зависит от величины нагрузки, действующей на нее. Если нагрузка на конструкцию мала, то при ограничении перемещений в поперечном направлении, значительное влияние оказывает зависимость Р-Δ. В регионах, имеющих малую ветровую нагрузку и незначительную сейсмичность, при проектировании легко удовлетворяются требования ограничения перемещения конструкции, при этом часто проектируют конструкции с малой жесткостью. Ввиду этого в этих регионах необходимо особенно обращать внимание на зависимость Р-Δ высотных и сверхвысотных сооружений, и особенно при расчете устойчивости здания.
При анализе упругих деформаций конструкций зависимость Р-Δ не относится к горизонтальным усилиям, действующим на конструкцию, а определяется в основном нагружением и расположением конструкции в плане. Если при действии горизонтальной нагрузки в конструкции возникают неупругие деформации и уменьшается жесткость конструкции, влияние зависимости Р-Δ больше, чем в расчете упругих конструкций. Это очень важно при проектировании железобетонных конструкций, потому что железобетонная конструкция работает с трещинами, в упругопластическом состоянии. В связи с этим в уточненной версии требований к высотным зданиям установлено, что при анализе конструкции с учетом зависимости Р-Δ обязательно требование об уменьшении на 50% модуля упругости материала конструкции. Этим учитывается увеличение влияния Р-Δ после наступления упругопластической стадии работы конструкции. Таким образом, при проведении упругопластического анализа, с уменьшением жесткости конструкции, необходимо учесть геометрическую нелинейность конструкции.